堆排序

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堆排序

本文作者:dreamcatcher-cx

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预备知识


堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法,堆排序是一种选择排序,它的最坏,最好,平均时间复杂度均为O(nlogn),它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。


堆是具有以下性质的完全二叉树:每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆;或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆。如下图:

堆排序


同时,我们对堆中的结点按层进行编号,将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子:

堆排序

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构,我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是:

大顶堆:arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]  

小顶堆:arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]  


ok,了解了这些定义。接下来,我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤:


堆排序基本思想及步骤


堆排序的基本思想是:将待排序序列构造成一个大顶堆,此时,整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换,此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆,这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行,便能得到一个有序序列了


步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆(一般升序采用大顶堆,降序采用小顶堆)。


1.假设给定无序序列结构如下

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2.此时我们从最后一个非叶子结点开始(叶结点自然不用调整,第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1,也就是下面的6结点),从左至右,从下至上进行调整。

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3.找到第二个非叶节点4,由于[4,9,8]中9元素最大,4和9交换。

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这时,交换导致了子根[4,5,6]结构混乱,继续调整,[4,5,6]中6最大,交换4和6。

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此时,我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。


步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换,使末尾元素最大。然后继续调整堆,再将堆顶元素与末尾元素交换,得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。


a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

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b.重新调整结构,使其继续满足堆定义

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c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换,得到第二大元素8.

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后续过程,继续进行调整,交换,如此反复进行,最终使得整个序列有序

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再简单总结下堆排序的基本思路:

  1. 将无需序列构建成一个堆,根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

  2. 将堆顶元素与末尾元素交换,将最大元素"沉"到数组末端;

  3. 重新调整结构,使其满足堆定义,然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素,反复执行调整+交换步骤,直到整个序列有序。


代码实现

package sortdemo;

import java.util.Arrays;

/**
* Created by chengxiao on 2016/12/17.
* 堆排序demo
*/

public class HeapSort {
   public static void main(String []args){
       int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
       sort(arr);
       System.out.println(Arrays.toString(arr));
   }
   public static void sort(int []arr){
       //1.构建大顶堆
       for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
           //从第一个非叶子结点从下至上,从右至左调整结构
           adjustHeap(arr,i,arr.length);
       }
       //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
       for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
           swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换
           adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整
       }

   }

   /**
    * 调整大顶堆(仅是调整过程,建立在大顶堆已构建的基础上)
    * @param arr
    * @param i
    * @param length
    */

   public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){
       int temp = arr[i];//先取出当前元素i
       for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){
       //从i结点的左子结点开始,也就是2i+1处开始
           if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){
           //如果左子结点小于右子结点,k指向右子结点
               k++;
           }
           if(arr[k] >temp){
           //如果子节点大于父节点,将子节点值赋给父节点(不用进行交换)
               arr[i] = arr[k];
               i = k;
           }else{
               break;
           }
       }
       arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
   }

   /**
    * 交换元素
    * @param arr
    * @param a
    * @param b
    */

   public static void swap(int []arr,int a ,int b){
       int temp=arr[a];
       arr[a] = arr[b];
       arr[b] = temp;
   }
}


结果

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]


最后

堆排序是一种选择排序,整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆经推导复杂度为O(n),在交换并重建堆的过程中,需交换n-1次,而重建堆的过程中,根据完全二叉树的性质,[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步递减,近似为nlogn。所以堆排序时间复杂度一般认为就是O(nlogn)级。


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