希尔排序

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希尔排序

本文作者:静默虚空

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要点

希尔(Shell)排序又称为缩小增量排序,它是一种插入排序。它是直接插入排序算法的一种威力加强版。该方法因DL.Shell于1959年提出而得名。


希尔排序的基本思想是:

把记录按步长 gap 分组,对每组记录采用直接插入排序方法进行排序。


随着步长逐渐减小,所分成的组包含的记录越来越多,当步长的值减小到 1 时,整个数据合成为一组,构成一组有序记录,则完成排序。


我们来通过演示图,更深入的理解一下这个过程。 

希尔排序


在上面这幅图中:

初始时,有一个大小为 10 的无序序列。


在第一趟排序中,我们不妨设 gap1 = N / 2 = 5,即相隔距离为 5 的元素组成一组,可以分为 5 组。接下来,按照直接插入排序的方法对每个组进行排序。


在第二趟排序中,我们把上次的 gap 缩小一半,即 gap2 = gap1 / 2 = 2 (取整数)。这样每相隔距离为 2 的元素组成一组,可以分为 2 组。按照直接插入排序的方法对每个组进行排序。


在第三趟排序中,再次把 gap 缩小一半,即gap3 = gap2 / 2 = 1。 这样相隔距离为 1 的元素组成一组,即只有一组。按照直接插入排序的方法对每个组进行排序。此时,排序已经结束。


需要注意一下的是,图中有两个相等数值的元素 5 和 5 。我们可以清楚的看到,在排序过程中,两个元素位置交换了。


所以,希尔排序是不稳定的算法。


核心代码

public void shellSort(int[] list) {

   int gap = list.length / 2;
 
   while (1 <= gap) {

       // 把距离为 gap 的元素编为一个组,扫描所有组
       for (int i = gap; i < list.length; i++) {
           int j = 0;
           int temp = list[i];

           // 对距离为 gap 的元素组进行排序
           for (j = i - gap; j >= 0 && temp < list[j]; j = j - gap) {
               list[j + gap] = list[j];
           }
           list[j + gap] = temp;
       }

       System.out.format("gap = %d:t", gap);
       printAll(list);
       gap = gap / 2; // 减小增量
   }
}


算法分析

希尔排序的算法性能

希尔排序


时间复杂度

步长的选择是希尔排序的重要部分。只要最终步长为1任何步长序列都可以工作。


算法最开始以一定的步长进行排序。然后会继续以一定步长进行排序,最终算法以步长为1进行排序。当步长为1时,算法变为插入排序,这就保证了数据一定会被排序。


Donald Shell 最初建议步长选择为N/2并且对步长取半直到步长达到1。虽然这样取可以比O(N2)类的算法(插入排序)更好,但这样仍然有减少平均时间和最差时间的余地。


可能希尔排序最重要的地方在于当用较小步长排序后,以前用的较大步长仍然是有序的。比如,如果一个数列以步长5进行了排序然后再以步长3进行排序,那么该数列不仅是以步长3有序,而且是以步长5有序。如果不是这样,那么算法在迭代过程中会打乱以前的顺序,那就


不会以如此短的时间完成排序了。

步长序列

最坏情况下复杂度

希尔排序

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已知的最好步长序列是由Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...),该序列的项来自这两个算式。


这项研究也表明“比较在希尔排序中是最主要的操作,而不是交换。”用这样步长序列的希尔排序比插入排序和堆排序都要快,甚至在小数组中比快速排序还快,但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。


算法稳定性

由上文的希尔排序算法演示图即可知,希尔排序中相等数据可能会交换位置,所以希尔排序是不稳定的算法。


直接插入排序和希尔排序的比较

  • 直接插入排序是稳定的;而希尔排序是不稳定的。

  • 直接插入排序更适合于原始记录基本有序的集合。

  • 希尔排序的比较次数和移动次数都要比直接插入排序少,当N越大时,效果越明显。 

  • 在希尔排序中,增量序列gap的取法必须满足:最后一个步长必须是 1 。 

  • 直接插入排序也适用于链式存储结构;希尔排序不适用于链式结构。


完整参考代码

JAVA版本代码实现(范例代码中的初始序列和本文图示中的序列完全一致)。

package notes.javase.algorithm.sort;

public class ShellSort {
   public void shellSort(int[] list) {
       int gap = list.length / 2;

       while (1 <= gap) {
           // 把距离为 gap 的元素编为一个组,扫描所有组
           for (int i = gap; i < list.length; i++) {
               int j = 0;
               int temp = list[i];

               // 对距离为 gap 的元素组进行排序
               for (j = i - gap; j >= 0 && temp < list[j]; j = j - gap) {
                   list[j + gap] = list[j];
               }
               list[j + gap] = temp;
           }

           System.out.format("gap = %d:t", gap);
           printAll(list);
           gap = gap / 2; // 减小增量
       }
   }

   // 打印完整序列
   public void printAll(int[] list) {
       for (int value : list) {
           System.out.print(value + "t");
       }
       System.out.println();
   }

   public static void main(String[] args) {
       int[] array = {
               9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5
       };

       // 调用希尔排序方法
       ShellSort shell = new ShellSort();
       System.out.print("排序前:tt");
       shell.printAll(array);
       shell.shellSort(array);
       System.out.print("排序后:tt");
       shell.printAll(array);
   }
}


运行结果

排序前:     9    1    2    5    7    4    8    6    3    5    
gap = 5:    4    1    2    3    5    9    8    6    5    7    
gap = 2:    2    1    4    3    5    6    5    7    8    9    
gap = 1:    1    2    3    4    5    5    6    7    8    9    
排序后:      1    2    3    4    5    5    6    7    8    9


参考资料

  • 《数据结构习题与解析》(B级第3版)

  • 维基百科-希尔排序:http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E6%8E%92%E5%BA%8F


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